科普量子力学（2）p^2+m^2开平方

岳东晓

我在前面提到，量子力学里的“量子波”的形式是，其中E为粒子的能量，p为动量（为简单起见我们暂只考虑一维的情况）。这不过是把的光子能量公式加以推广。

显然,以及
这个波函数必须满足的方程可以由能量-动量公式推出。薛定谔方程就是套用用牛顿力学的动能公式 （m是质量）。

而狭义相对论的能量公式是： 。如果p=0，那么 E = m，就是那个著名的爱因斯坦能量公式 ，，c是光速。有一位理论物理学家说，方程里总有这些之类基本常数，很蠢，所以干脆令它们都等于1。这样公式简单、物理清楚多了。

如果直接套用这个能量公式，我们就得到Klein-Gordan方程。薛定谔最初其实就是采取的这个方案，但因为其计算结果不能给出正确的氢原子精细结构，被薛定谔放弃了。总之，当时认为，量子波动方程里含对时间的二次偏导是不行的。

很多物理学家当时都在考虑这个问题，有一个想法是，如果把两边开平方如何？这样左边就是E，对应的就是对时间的一次偏导。

如果简单的两边开方，我们有 。

但这个结果右边出现平方根，非常的ugly，而且不知怎么处理（如果p远小于m,那我们可以泰勒展开近似，但一般情况就无法处理）。怎样开方，使右边只出现m,p的一次方呢（不含平方根之类）。

约80年前，有位天才的理论物理学家解决了这个问题，并由此预言反物质的存在，获得了诺贝尔奖。你可以自己试试能不能解答。

PS：科学网这个公式输入的插件不错，但用起来太繁琐了（也许我没找到正确方法？）